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  1. 2008.10.21 6시그마를 간단하게 계산해보자! 11


경영학에 관심이 있다면 식스시그마라는 말을 익숙히 들어보았을 것입니다. 식스시그마는 특히 경영학 파트 중에서도 생산관리, 품질관리에서 주로 다루는 이슈입니다. 1986년 모토로라의 빌스미스라는 사람이 처음 고안한 방법론인데요. 6시그마가 과연 어느정도의 숫자를 의미하는지 알아보고자 합니다.

 

간단히 예를들어 보자면, normal distribution에서 -2.58σ부터 +2.58σ까지 해당하는 범위는 전체 영역의 99%입니다. 이를 Excel을 이용해서 설명해 보겠습니다.

 

엑셀에는 normsdist라는 함수가 있습니다. 이 함수의 사용법은 =normsdist(2.58)이런식으로 써주면 됩니다. 그럼 (-)무한대부터 2.58σ까지 해당하는 넓이를 구해줍니다. 

그런데, 우리가 구하고 싶은것은 -2.58σ부터 +2.58σ까지입니다. 이것을 구하기 위해서는

=normsdist(2.58)-0.5를 합니다. normal distribution은 평균점 중심을 기준으로 좌우대칭이기 때문에(위의 그림에서 산모양) 양쪽의 넓이는 각각 0.5가 되는 것이죠. 따라서 -무한대부터 2.58σ까지 해당하는 넓이에서 0.5를 빼주면 0부터 2.58σ까지 해당하는 넓이를 구할 수 있고, 이것의 두배를 계산함으로써 -2.58σ부터 +2.58σ까지의 넓이를 구할 수 있는 것입니다.
즉,  =(normsdist(2.58)-0.5)*2 즉, =2normsdist(2.58)-1이라는 식으로 간단히 -2.58σ부터 +2.58σ까지 넓이를 구할 수 있습니다.

위의 캡쳐사진 보이시죠? 0.99012라는 숫자가 나왔습니다. 대략 99%에 해당한다는 것을 엑셀로 간단히 계산한 것입니다.

 

자 이제 6시그마 얘기로 다시 돌아오겠습니다. 위에서 살펴본 원리대로라면 6시그마에 대당하는 값은 =2normsdist(6)-1라는 식으로 간단히 구할 수 있습니다. 그런데 직접 셀에 이 수식을 입력하면 1이라는 값이 나옵니다.

 

그렇죠? 이것은 거의 1에 가까운 숫자이기 떄문에 엑셀이 알아서 근사치로 표시하였기 때문입니다.
셀서식에서 소수점을 늘려서 해결할 수 있습니다. 마우스 우클릭으로 셀서식을 열고 '소수 자리수'를 15로 늘려보겠습니다.

위 그림처럼 소수자리수를 15로 입력한 후 '확인'을 선택합니다.

그럼 자동으로 근사값을 표시하지 않고 소수점 15째 자리까지 나타내 줍니다. 눈으로 얼핏봐도 그야말로 거의 1에 가깝다고 할 수 있겠습니다. 약 0.999999998입니다. 눈이어지럽겠지만 잘 세어보면 9가 8개이고 8이 1개입니다.
1-0.999999998을 계산해보면 0.000000002입니다.

이는 곧, 10억분의 2개에 해당하는 수치입니다. 영어에는 billion이라는 간단한 표현이 있으니 빌리언으로 나타내면, 2/billion로 나타낼 수 있습니다.

이렇듯이 6시그마라는것은 수학적으로는 빌리언당 2개의 불량률을 달성하는 것이라고 계산할 수 있습니다.
그러나 실제로는 6시그마가 이렇게 엄청나게 미미한 숫자를 의미하지 않습니다. 
경험적으로 밝혀진 바에 따르면 1.5시그마만큼 평균이 오른쪽으로 이동한다고 합니다.
(이를 1.5sigma shift라고 합니다.)

위의 그림처럼 1.5시그마 쉬프트를 고려하면
좌측은 7.5시그마, 우측은 4.5시그마가 되는데요.

위에서 배운것처럼 normsdist를 이용해서 엑셀로 계산을 하려면

좌측=0.5-normsdist(-7.5)
(이부분은 normsdist(7.5)-0.5라고 써도 무방합니다.)

우측=normsdist(4.5)-0.5

이렇게 구해서 이 둘을 더하는 만큼이 됩니다. 
좌측에서 normsdist(-7.5)는 대단히 작기 때문에(0.00000000000003190892 정도..) 좌측은 0.5라는 근사치로 봐도 무방하며,
오른편은 0.4999966이라는 숫자가 나오기 때문에
좌측과 우측을 합하면 0.9999966이 되며 1-0.9999966=0.0000034 가 계산되기 때문에
이는 million으로 표현하면 3.4/million 즉, 백만개중에 3.4개의 불량률을 의미하며 
천만개중에는 34개의 불량률을 나타내는 것입니다.

지금까지 간단하게 6시그마를 계산해보았구요.
내용은 간단한데 수식이 그리 간단해 보이지 않을 수도 있겠네요.
6시그마가 단순한 숫자 놀음에 불과할지도 모릅니다.
대충 말로만 알았던 6시그마에 대해서 어느정도의 수치를 의미하는것인지 이해했다면
그것으로 본 포스트의 역할은 다했다고 생각합니다.




* 오타수정 및 보충 : 2010-4-3
아직 이 글을 찾아주시는 분이 많은것 같아 약간 글을 다듬어봤습니다.^^


Posted by Ozahir
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